Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung)^[1] ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski^[2] und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studium einer Klasse auf das Studium ihrer Teilmengen beschränken kann.^[3]

Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse ${\displaystyle K\subseteq {\textrm {V}}=\{\,x\;|\;\exists _{y}\,x\in y\,\}}$ die Teilklasse ${\displaystyle K_{\text{min}}\equiv \tau (K):=\{\,x\in K\;|\;\forall _{y\in K}\rho (x)\leq \rho (y)\,\}}$, wenn ${\displaystyle \rho :{\textrm {V}}\rightarrow {\textrm {On}}}$ die Rangfunktion ist.^[4] Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch ein spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen.^[5] Mit

${\displaystyle \xi =\min _{x\in K}\rho (x)}$

ist ${\displaystyle \tau (K)}$ eine Menge, deren Rang höchstens ${\displaystyle \xi +1}$ beträgt.

Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:^[4]

• Für jede Relation ${\displaystyle R}$ existiert eine vorgängerkleine Teilrelation ${\displaystyle S}$ mit demselben Definitionsbereich.
• Für jede Relation ${\displaystyle R}$ existiert eine Teilrelation ${\displaystyle S}$ mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
• Wenn jede nicht leere Menge ein ${\displaystyle \prec }$-kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein ${\displaystyle \prec }$-kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel ${\displaystyle \Phi }$ gilt:

${\displaystyle (\forall _{x}\,(\forall _{y\prec x}\,\Phi (y)\Rightarrow \Phi (x)))\Rightarrow \forall _{z}\,\Phi (z)}$ (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).

• Für jede Menge ${\displaystyle A}$ und endlich viele Relationen ${\displaystyle R_{1},...,R_{k}}$ existiert eine für jedes ${\displaystyle i\in \{1,...,k\}}$ fast ${\displaystyle R_{i}}$-abgeschlossene Menge ${\displaystyle B\supseteq A}$.
• Für jede Äquivalenzrelation ${\displaystyle \approx }$ existiert eine Funktion ${\displaystyle F}$, die

${\displaystyle \forall _{x}\,\forall _{y}\,(F(x)=F(y)\Leftrightarrow x\approx y)}$

erfüllt.

1. ↑ Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets, auch bekannt als Scott's trick.
2. ↑ Tarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442–443
3. ↑ Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 2.6, 2.8
4. ↑ ^{a b} Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7
5. ↑ Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1