Hurewicz-Theorem

Das Hurewicz-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein grundlegendes Resultat zur Verbindung von Homotopietheorie mit Homologietheorie durch den Hurewicz-Homomorphismus. Ein analoges Theorem und ein analoger Homomorphismus verbindet Kohomotopietheorie mit Kohomologietheorie. Das Theorem ist nach Witold Hurewicz benannt und verallgemeinert frühere Resultate von Henri Poincaré.

Sei ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ ein Generator. Für einen wegzusammenhängenden Raum ${\displaystyle X}$ ist die Abbildung:

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X)\rightarrow H_{n}(X,\mathbb {Z} ),[\gamma ]\mapsto \gamma _{*}u_{n}=H_{n}(\gamma )(u_{n})}$

der Hurewicz-Homomorphismus.^[1]

Sei ${\displaystyle p_{n}\colon S^{n}\twoheadrightarrow S^{n}\vee S^{n}}$ die Abbildung, welche den Äquator der Sphäre auf einen Punkt kollabiert, dann ist für Homotopieklassen ${\displaystyle [\gamma ],[\delta ]\in \pi _{n}(X)}$ ihre Verknüpfung gegeben durch ${\displaystyle [\gamma ]+[\delta ]=[(\gamma \vee \delta )\circ p_{n}]\in \pi _{n}(X)}$. Dadurch gilt:

${\displaystyle h_{n}([\gamma ]+[\delta ])=h_{n}((\gamma \vee \delta )\circ p_{n})=((\gamma \vee \delta )\circ p_{n})_{*}u_{n}=(\gamma \vee \delta )_{*}{p_{n}}_{*}u_{n}=(\gamma \vee \delta )_{*}(u_{n},u_{n})=(\gamma _{*}u_{n})+(\delta _{*}u_{n})=h_{n}([\gamma ])+h_{n}([\delta ]).}$

Darüber hinaus ist der Hurewicz-Homomorphismus (ähnlich wie etwa auch der Frobenius-Homomorphismus) sogar kompatibel mit einem Wechsel des zugrundeliegenden Raumes und dadurch sogar eine natürliche Transformation ${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}\Rightarrow H_{n}(-,\mathbb {Z} )}$. Für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen topologischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, welche jeweils Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle \pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\rightarrow \pi _{n}(Y)}$ und ${\displaystyle H_{n}(f)\colon H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y)}$ induziert, da Homotopie- und Homologiegruppen jeweils Funktoren sind, gilt:

${\displaystyle {\big (}H_{n}(f)\circ h_{n}^{(X)}{\big )}([\gamma ])=H_{n}(f){\big (}H_{n}(\gamma )(u_{n}){\big )}=H_{n}(f\circ \gamma )(u_{n})=h_{n}^{(Y)}([f\circ \gamma ])={\big (}h_{n}^{(Y)}\circ \pi _{n}(f){\big )}([\gamma ]).}$

• Sei ${\displaystyle n=1}$, dann induziert der Hurewicz-Homomorphismus ${\displaystyle h_{1}\colon \pi _{1}(X)\rightarrow H_{1}(X,\mathbb {Z} )}$ einen Isomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}(X)^{\mathrm {ab} }\rightarrow H_{1}(X,\mathbb {Z} )}$ von der abelisierten Fundamentalgruppe in die erste singuläre Homologiegruppe.
• Sei ${\displaystyle n\geq 2}$ und ${\displaystyle X}$ zusätzlich ${\displaystyle n-1}$-zusammenhängend, also ${\displaystyle \pi _{k}(X)\cong 1}$ für ${\displaystyle k\leq n-1}$, weshalb ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ die erste nichttriviale Homotopiegruppe ist. Dann sind die Hurewicz-Homomorphismen ${\displaystyle h_{k}\colon \pi _{k}(X)\rightarrow H_{k}(X,\mathbb {Z} )}$ jeweils Isomorphismen für ${\displaystyle k\leq n}$, womit ebenfalls ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{k}(X)\cong 1}$ für ${\displaystyle k\leq n-1}$ sowie ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \pi _{n}(X)}$. Darüber hinaus ist der Hurewicz-Homomorphismus ${\displaystyle h_{n+1}\colon \pi _{n+1}(X)\rightarrow H_{n+1}(X,\mathbb {Z} )}$ surjektiv.^[2]

Neben dem Hurewicz-Homomorphismus gibt es ebenfalls die Hurewicz-Abbildung, welche Kohomotopiemengen und Kohomologiegruppen verbindet. Da Kohomotopiemengen im Allgemeinen jedoch keine Struktur tragen und daher im Vergleich zu Homotopiegruppen bereits von untergeordnetem Interesse sind, gilt das gleiche für die Hurewicz-Abbildung. Nichtsdestotrotz ist ihre Konstruktion elegant und einsichtsvoll. Sowohl Kohomotopie und singuläre Kohomologie sind darstellbare Funktoren, nämlich durch die Sphäre und Eilenberg-MacLane-Räume:

${\displaystyle \pi ^{n}\cong [-,S^{n}];}$

${\displaystyle H^{n}(-,\mathbb {Z} )\cong [-,K(\mathbb {Z} ,n)].}$

Nach dem Yoneda-Lemma ist eine natürliche Transformation ${\displaystyle \pi ^{n}\Rightarrow H^{n}(-,\mathbb {Z} )}$ äquivalent gegeben durch eine stetige Abbildung ${\displaystyle S^{n}\rightarrow K(\mathbb {Z} ,n)}$. Eine solche ergibt sich tatsächlich kanonisch aus dem Postnikov-Turm der Sphäre, bei der ihre Homotopiegruppen von oben entfernt werden, bis nur noch ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$ übrig bleibt.

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

• Hurewicz theorem auf nLab (englisch)

1. ↑ Hatcher 2002, S. 370
2. ↑ Hatcher 2002, Theorem 4.32 auf S. 366