Gromovs Satz über Betti-Zahlen

In der Mathematik ist Gromovs Satz über Betti-Zahlen ein Lehrsatz der globalen riemannschen Geometrie von Michail Leonidowitsch Gromow.

Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Schnittkrümmung. Dann gilt für die Betti-Zahlen (mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper ${\displaystyle F}$):

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq 10^{10n^{4}}}$.

(Gromovs ursprüngliche Abschätzung war doppelt-exponentiell^[1], die obige Verbesserung geht auf Abresch^[2] zurück. Die vermutete optimale rechte Seite ist ${\displaystyle 2^{n}}$.)

Allgemeiner beweist Gromov, dass für eine ${\displaystyle n}$-dimensionale geschlossene riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung ${\displaystyle K\geq -\kappa ^{2}}$ und Durchmesser ${\displaystyle D}$ die Ungleichung

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq C^{1+\kappa D}}$

für eine Konstante ${\displaystyle C}$ gilt.

• Kapitel 2 in Wilking: Nonnegatively and positively curved manifolds
• Weiss: Curvature and finite domination

1. ↑ M. Gromov, Curvature, diameter and Betti numbers, Comment. Math. Helv. 56 (1981), no. 2, 179–195. (online)
2. ↑ U. Abresch, Lower curvature bounds, Toponogov’s theorem, and bounded topology. II. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 3, 475–502.