Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.^[1] Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.^[1][2][3]

Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:^[4][5][6]

Gegeben seien eine endliche Menge ${\displaystyle X}$ und weiter eine Primzahl ${\displaystyle p}$, eine natürliche Zahl ${\displaystyle r}$ sowie eine endliche Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ der Ordnung ${\displaystyle |G|=p^{r}}$.^{[A 1]}

Dabei soll ${\displaystyle (G,\cdot )}$ vermöge der äußeren Operation ${\displaystyle G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;}$ auf ${\displaystyle X}$ operieren.^{[A 2]}

Dann gelten folgende Aussagen:

(i) ${\displaystyle |\operatorname {Fix} _{G}(X)|\equiv |X|{\pmod {p}}}$^{[A 3][A 4]}

(ii) Insbesondere existiert, wenn ${\displaystyle |X|}$ und ${\displaystyle p}$ teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:^[4][6]

Gegeben seien eine Menge ${\displaystyle X}$ und eine Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$, die vermöge ${\displaystyle G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;}$ auf ${\displaystyle X}$ operieren soll.

Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem ${\displaystyle V\subseteq X}$ für die durch die Bahnen auf ${\displaystyle X}$ gegebenen Partition.

Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel

${\displaystyle |X|=|\operatorname {Fix} _{G}(X)|+\sum \limits _{x\in V\;{\text{mit}} \atop \;\ (G\colon G_{x})>1}{(G\colon G_{x})}}$.^{[A 5][A 6][A 7][A 8][A 9]}

Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.

Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:^[7][8]

Gegeben seien eine Primzahl ${\displaystyle p}$ und dazu eine endliche p-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit zugehörigem Zentrum ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$.

Dann gilt:

(i) Besteht ein Normalteiler ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)\cap N}$ nicht aus dem neutralen Element allein.

(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe ${\displaystyle G}$ im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$.

Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:^[9]

Jede endliche p-Gruppe ${\displaystyle G}$ der Ordnung ${\displaystyle |G|=p^{r}}$ (${\displaystyle p}$ prim, ${\displaystyle r\in \mathbb {N} \;,\;r\geq 1}$) hat einen Normalteiler ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ der Ordnung ${\displaystyle |N|=p^{r-1}}$ .

• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5 (MR0460010). 
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 4. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, doi:10.1007/978-3-662-54722-9. 
• Gernot Stroth: Endliche Gruppen. Eine Einführung (= De Gruyter Studium). Walter de Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-029157-5. 

1. ↑ Mit ${\displaystyle |M|}$ bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge ${\displaystyle M}$. Ist ${\displaystyle M}$ eine endliche Menge, so ist ${\displaystyle |M|}$ die Anzahl der in ${\displaystyle M}$ enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
2. ↑ Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich ${\displaystyle \cdot }$, bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß ${\displaystyle gx=g\cdot x}$.
3. ↑ Die Teilmenge ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{G}(X)\subseteq X}$ besteht aus genau den Elementen ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle g\cdot x=x}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$. Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
4. ↑ Mit ${\displaystyle \equiv }$ wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
5. ↑ Für ein ${\displaystyle x\in X}$ ist dabei ${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\leq G}$ der zugehörige Stabilisator und ${\displaystyle (G\colon G_{x})}$ sein Index in ${\displaystyle (G,\cdot )}$.
6. ↑ Ein ${\displaystyle x\in X}$ ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn ${\displaystyle G_{x}=G}$ bzw. ${\displaystyle (G\colon G_{x})=1}$ gilt.
7. ↑ Die Summationsbedingung ${\displaystyle (G\colon G_{x})>1}$ wird möglicherweise von keinem ${\displaystyle x\in V}$ erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert ${\displaystyle 0}$.
8. ↑ Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
9. ↑ Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

1. ↑ ^{a b} Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
2. ↑ Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
3. ↑ Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
4. ↑ ^{a b} Meyberg, op. cit., S. 67
5. ↑ Stroth, op. cit., S. 5
6. ↑ ^{a b} Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
7. ↑ Stroth, op. cit., S. 6
8. ↑ Meyberg, op. cit., S. 68
9. ↑ Meyberg, op. cit., S. 74–75