Bernstein-Ungleichung (Analysis)

Sei ${\displaystyle S}$ ein trigonometrisches Polynom vom Grad kleiner gleich ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle S'}$ die erste Ableitung, dann gilt

${\displaystyle \max _{-\pi \leq \Theta \leq \pi }(|S'(\Theta )|)\leq n\cdot \max _{-\pi \leq \Theta \leq \pi }(|S(\Theta )|)}$

Sei ${\displaystyle P}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle n}$ auf den komplexen Zahlen und ${\displaystyle P'}$ die erste Ableitung. Dann gilt auf dem Einheitskreis ${\displaystyle |z|\leq 1}$:

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}(|P'(z)|)\leq n\cdot \max _{|z|\leq 1}(|P(z)|)}$

Sei ${\displaystyle P}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle n}$ auf den komplexen Zahlen, ${\displaystyle P^{(k)}}$ die ${\displaystyle k}$-te Ableitung. Dann gilt auf dem Einheitskreis ${\displaystyle |z|\leq 1}$:

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}(|P^{(k)}(z)|)\leq {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot \max _{|z|\leq 1}(|P(z)|)}$